世界数学问题

1874年，康托尔推测可数集基数和实数集基数之间不存在其他基数，即著名的连续统假说。1938年，居住在美国的奥地利数学逻辑学家哥德尔证明了连续统假说和ZF集合论的公理系统之间并不矛盾。1963年，美国数学家P.Choen证明了连续统假设和ZF公理是相互独立的。因此，连续统假说不能被ZF公理所证明。从这个意义上说，问题已经解决了。

(2)算术公理系统不矛盾。

欧几里得几何的不矛盾可以归结为算术公理的不矛盾。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论的方法来证明，但哥德尔在1931发表的不完全性定理否定了它。gnc(G . genta en，1909-1945)1936利用超限归纳法证明了算术公理系统的不矛盾性。

(3)仅根据契约公理无法证明两个等底、等高的四面体体积相等。

问题的意义是有两个高度相等的四面体，不能分解成有限个小四面体，使两个四面体全等(M. DEHN)已在1900中解决。

(4)以直线作为两点间最短距离问题。

这个问题比较笼统。有许多几何图形满足该属性，因此需要一些限制。1973年，苏联数学家波格列夫宣布在对称距离条件下解决了这个问题。

(5)拓扑成为李群(拓扑群)的条件。

这个问题简称为连续群的解析性质，即是否每个局部欧氏群都一定是李群。1952由格里森、蒙哥马利和齐宾解决。1953，日本的山脉秀彦得到了一个完全正的结果。

(6)在数学中起重要作用的物理学公理化。

1933年，苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫公理化了概率论。后来，他在量子力学和量子场论方面取得了成功。然而，许多人对物理学的所有分支是否都可以完全公理化存有疑虑。

(7)一些数的超越性证明。

证明:如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α β一定是超越数或者至少是无理数(例如2√2和eπ)。苏联的gel fond(1929)，德国的Schneider和Siegel(1935)独立证明了其正确性。但是超越数的理论还远未完成。目前没有统一的方法来确定给定数是否超过数。

(8)素数分布问题，特别是对于黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题。

素数是一个非常古老的研究领域。希尔伯特在这里提到了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数。黎曼猜想至今未解。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前还没有最终解决，最好的结果属于中国数学家陈景润。

(9)任意数域中一般互易定律的证明。

1921基本由日本高木贤治解决，1927基本由德国E.Artin解决。然而，范畴理论仍在发展。

(10)能否通过有限步判断不定方程是否有有理整数解？

求整系数方程的整数根称为丢番图(约210-290，古希腊数学家)方程可解。1950前后，戴维斯、普特南、罗宾逊等美国数学家取得了关键突破。在1970中，Baker和Feros对含有两个未知数的方程作出了肯定的结论。1970.苏联数学家马蒂·塞维克(Marty Sevic)最终证明，总的来说，答案是否定的，尽管结果是否定的，但它产生了一系列有价值的副产品，其中许多都与计算机科学密切相关。

(11)代数数域中的二次型理论。

德国数学家哈塞和西格尔在20世纪20年代取得了重要成果。20世纪60年代，法国数学家A.Weil取得了新的进展。

(12)类域的组成。

即把阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任何代数有理域。这个问题只有一些零星的结果，远没有完全解决。

(13)二元连续函数组合解七次一般代数方程的不可能性。

方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根取决于三个参数A、B和C；x=x(a，b，c).这个函数可以用一个二元函数来表示吗？这个问题即将得到解决。1957年苏联数学家阿诺德证明了任何在[0，1]上连续的实函数f(x1，x2，x3)都可以写成∑ hi (ξi (x1，x2)，x3)的形式(I .安德雷·柯尔莫哥洛夫证明了f(x1，x2，x3)可以写成∑ hi (ξ i1 (x1)在1964中，Vituskin推广到了连续可微的情况，但解析函数的情况没有解决。

(14)某些完备函数系的有限证明。

即多项式fi (I = 1，...，Xn)，其中R是由有理函数F(X1，...，Xm)和f .日本数学家永田正芳在1959中用漂亮的反例给出了这个与代数不变量有关的问题的否定解。

(15)建立代数几何的基础。

荷兰数学家范德瓦尔·邓1938到1940，韦伊1950已经解决了。

(15)注1舒伯特计数微积分的严格基础。

一个典型的问题是:三维空间有四条直线。有多少条直线能与所有四条直线相交？舒伯特给出了直观的解决方案。希尔伯特要求将问题一般化，并给出严格的依据。现在有一些可计算的方法，与代数几何密切相关。但是严格的基础还没有建立起来。

(16)代数曲线曲面的拓扑研究。

这个问题的前半部分涉及代数曲线中闭分支曲线的最大数。后半部分要求讨论dx/dy=Y/X的极限环的最大个数N(n)和相对位置，其中X和Y是X和Y的N次多项式，对于n=2(即二次系统)的情况，1934，Froxianer得到N(2)≥1；1952中，宝婷得到n(2)≥3；1955年，苏联的波德洛夫斯基宣称n(2)≤3，这是震惊了一阵子的结果，却因为一些引理被否定而遭到质疑。关于相对位置，中国数学家和叶在1957中证明了(E2)不超过两个字符串。在1957中，中国数学家秦元勋、蒲福进给出了一个具体的例子，n = 2的方程至少有三个级数极限环。在1978中，在秦元勋和华的指导下，中国的石松龄和王分别给出了至少四个极限环的具体例子。在1983中，秦元勋进一步证明了二次系统至多有四个极限环，结构为(1，3)，从而最终解决了二次微分方程解的结构问题，为研究希尔伯特问题(16)提供了新的途径。

(17)半正定形式的平方和表示。

有理函数f (x1，...，xn)对于任何数组(x1，...，xn)。是否确定F可以写成有理函数的平方和？1927 Atin已经明确解决。

(18)用全等多面体构造空间。

德国数学家别伯巴奇(1910)和莱因哈特(1928)做了部分解答。

(19)正则变分问题的解总是解析函数吗？

德国数学家伯恩特因(1929)和苏联数学家彼得罗夫斯基(1939)已经解决了这个问题。

(20)研究一般边值问题。

这个问题进展很快，已经成为数学的一大分支。前几天还在研究开发。

(21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类线性微分方程解的存在性证明。

这个问题属于线性常微分方程的大规模理论。希尔伯特本人分别在1905和H.Rohrl在1957获得了重要结果。65438-0970年的法国数学家德利涅贡献突出。

(22)用自守函数化单值解析函数。

这个问题涉及到困难的黎曼曲面理论。在1907中，P.Koebe解决了一个变例，使这一问题的研究取得了重要突破。其他方面没有解决。

(23)开展变分法的研究。

这不是一个清晰的数学问题。变分法在20世纪有了很大的发展。

回应者:manami-大魔术师8级4-12 22:42

希尔伯特的23个问题及其解决方案

1900年，希尔伯特应邀出席在巴黎举行的国际数学家大会，并发表了题为《数学问题》的重要演讲。在这篇历史性的演讲中，首先，他提出了许多重要的观点:

就像人类的每一项事业都追求一定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者们锻炼了他们钢铁般的意志，发现了新的思想，达到了更广阔的自由境界。

希尔伯特特别强调主要问题在数学发展中的作用。他指出:“如果我们想对数学知识在不久的将来可能的发展有一个概念，我们就必须回顾今天的科学所提出的问题，并希望在将来解决这些问题。”同时指出:“某些问题对一般数学过程的深刻意义及其在研究者个人工作中的重要作用是不可否认的。只要一个科学分支能够提出大量的问题，它就充满了活力，没有问题就表明独立发展的衰落或中止。”

他阐述了重大问题的特点，一个好的问题应该具有以下三个特点:

清晰易懂；

虽然艰难，却给人希望；

很深刻。

同时，他分析了学习数学问题经常遇到的困难和一些克服困难的方法。正是在这次会议上，他提出了数学家们在新世纪应该努力解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23问题”。

促进发展领域解决编号问题的情况

1连续统假设公理集合论1963、Paul J.Cohen证明了第一个问题在以下意义下是不可解的。也就是说，在策梅洛-弗兰科尔公理系统中，连续统假设的真实性是无法判断的。

2算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理相容性的思想后来发展成为系统的希尔伯特计划(“元数学”或“证明论”)，但哥德尔在1931年的“不完全定理”中指出，用“元数学”证明算术公理的相容性是不可能的。数学的兼容性问题至今没有解决。

两类高基四面体等体积的几何基础很快(1900)，希尔伯特的学生M.Dehn肯定回答了。

直线是两点间最短距离的几何基础这个问题太笼统了。在希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四个问题上取得了很大进展，但问题并没有完全解决。

5李群概念不定义群函数可微性假设的拓扑群论经过长时间的努力，这个问题终于被Gleason，Montqomery，Zipping等人在1952中解决了，答案是肯定的。

6物理公理的数学化处理数学物理学在量子力学、热力学等领域取得了巨大的成功，但总的来说，公理化物理意味着什么，仍然是一个需要探讨的问题。概率论的公理化是由A.H.Konmoropob等人建立的。

7某些数的无理数与超越超越数论1934 A.O.temohm和Schneieder独立解决了这个问题的后半部分。

黎曼猜想在8个素数的数论一般情况下仍然是一个猜想。第八个问题中包含的哥德巴赫问题至今没有解决。中国的数学家在这个领域做了一系列出色的工作。

任意数域中最一般互反定律的证明。类场理论已经被高木贞子(1921)和E.Artin(1927)解决了。

10丢番图方程可解性的判别不定分析1970苏联和美国的数学家证明希尔伯特所期望的一般算法不存在。

具有任意代数系数的二次二次理论H .哈塞(1929)和C. L. Siegel (1936，1951)在这个问题上得到了重要的结果。

将12 Abel域上的Kroneker定理推广到任意代数有理数域。复数乘法的理论一直没有解决。

13用一个只有两个变量的函数解普通的七次方程是不可能的。方程论和实函数论的连续函数在1957年被苏联数学家否定。如果需要解析函数，这个问题仍然没有解决。

14证明某完备函数系的有限代数不变量理论给出了一个负解。

15舒伯特计数演算的严格的基础代数几何由于许多数学家的努力，使得纯粹用代数的方法对待舒伯特演算的基础成为可能，但舒伯特演算的合理性还有待解决。至于代数几何的基础，已经由B.L .范德瓦尔登(1938-40)和A .韦尔(1950)建立。

16代数的拓扑曲线曲面，曲面拓扑，常微分方程定性理论问题的前半部分，近年来得到了重要的结果。

正定形式的平方表达式域(实域)理论由Artin在1926中解决。

18用全等多面体空间晶群理论部分求解。

19正则变分问题的解是否必须分析椭圆型偏微分方程理论，在某种意义上已经解决了。

20一般边值问题椭圆型偏微分方程理论偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展。

21具有给定值组的线性偏微分方程的存在性线性常微分方程的大规模理论已由希尔伯特本人(1905)和H.Rohrl(德国，1957)解决。

P.Koebe(德国，1907)已经解决了具有解析关系的一个变量的单叶黎曼曲面的情况。

23变分法的进一步发展希尔伯特本人和许多数学家都对变分法的发展做出了重要贡献。

百年前的数学家大会与希尔伯特问题

熊为民

21世纪首届国际数学家大会即将在北京召开。会给本世纪数学的发展带来什么？能否像20世纪第一次国际数学家大会那样影响数学发展的方向？一个世纪前，数学家大会因为一个人而被永远载入史册，因为他的一份报告——戴维·希尔伯特和他的数学问题。

1900年，希尔伯特在巴黎举行的第二届国际数学家大会上提出了他著名的23个数学问题。在随后的半个世纪里，许多世界级的数学头脑围绕着他们。正如另一位非常著名的数学家H. Weyl所说，“希尔伯特吹响了他的魔笛，成群的老鼠跟着他跳进了河里。”难怪他的问题如此清晰易懂，有些问题又如此有趣，以至于很多外行都跃跃欲试，而解决其中的任何一个，或者在任何一个问题上取得重大突破，都会立刻名扬天下——中国的陈景润在解决希尔伯特第八问题(即素数问题，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上做出了巨大贡献。)而举世瞩目。人们在总结二十世纪，尤其是二十世纪上半叶数学的发展时，通常以希尔伯特的问题为航标。

事实上，这些问题大部分已经存在，希尔伯特并没有首先提出来。但他站在了一个更高的层面，用更尖锐、更简单的方式再次提出了这些问题，并指出了解决其中很多问题的方向。

数学领域有很多问题。哪些更重要，更基本？做出这样的选择需要敏锐的洞察力。为什么希尔伯特能如此怒火中烧？数学史家、中国科学院数学与系统科学研究所研究员、《数学王国里的希尔伯特——亚历山大》一书的译者袁向东先生(与李文林先生合译)认为，这是因为希尔伯特就是数学王国里的亚历山大！数学家可以分为两类，一类是擅长解决数学难题的，一类是擅长对现有情况进行理论总结的，两类都可以细分为一等、二等、三等。希尔伯特在这两方面都很擅长。他几乎走遍了现代数学的所有前沿阵地，在许多不同的数学分支中留下了自己显赫的名字，对数学发展的背景了如指掌，对提到的许多问题进行了深入的研究。他是数学领域的“王者”。

为什么希尔伯特在大会上总结了数学的基本问题，而不是像普通人一样宣讲他的一个成果？袁向东告诉记者，这与另一位伟大的数学家亨利·庞加莱(Henri Poincaré)有关，他在1897年召开的第一届国际数学家大会上做了一个应用数学的报告。两人都是当时国际数学界的双子星，都是领军人物。当然，也有一定的竞争心理。由于庞加莱谈到了他对物理与数学关系的一般看法，希尔伯特为纯数学做了一些辩护。

庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法德两国有世仇，所以他们之间的竞争有国家竞争的味道。虽然他们非常尊重对方，这在他们看来并不明显，但他们的学生和老师经常这么看。

希尔伯特的老师费利克斯·克莱因是一个民族意识很强的人。他非常重视德国数学的发展，想把国际数学界变成一个椭圆——以前是以巴黎为圆心的圆；现在他想让他的哥廷根城成为世界数学的中心，让数学的世界成为一个有两个中心的椭圆。

在希尔伯特和密友赫尔曼·闵可夫斯基的帮助下，克莱因实现了他的目标——到1900年，希尔伯特已经和法国最伟大的数学家庞加莱齐名，克莱因本人和即将来到哥廷根的闵可夫斯基也是非常有影响力的数学家。其实他们在德国被称为“无敌三教授”。

你可以从一个例子中想象他们的魅力。

有一天，在讲拓扑学的著名定理四色定理时，闵可夫斯基突然灵机一动，于是对满屋子的学生说:“这个定理还没有被证明，因为至今只有一些三流数学家研究过。现在该由我来证明了。”然后他拿起粉笔，当场证明了这个定理。上完这门课，他还没完成证书。他继续在接下来的课上作证，持续了几个星期。终于，在一个阴雨绵绵的早晨，他刚走上讲台，天空中就响起了霹雳。“上帝也被我的傲慢激怒了，”他说。“我的证明也是不完整的。”这个定理直到1994才被计算机证明。)

1912，庞加莱死了。世界数学的中心进一步转移到了哥廷根，数学世界似乎又变成了一个圆——只是圆的中心换到了哥廷根。此时，哥廷根学派的名声如日中天，年轻数学家中流行的口号是“收拾行李，去哥廷根吧！”

一个世纪过去了，希尔伯特列出的23个问题中，大约有一半得到了解决，剩下的一半中的大部分也取得了重大进展。但是希尔伯特本人没有解决任何一个问题。有人问他为什么不解决自己的问题，比如费马大定理。

费马把定理写在了一页纸的空白处，他还声称自己想出了一个绝妙的证明，可惜空白处不够大，写不下来。希尔伯特的回答也很幽默:“我不想杀这只只会下金蛋的母鸡”——德国一位企业家成立基金会，奖励第一个解决费马大定律的人。希尔伯特当时是基金会的主席，用基金的利息每年邀请优秀的学者到哥廷根讲学，所以对他来说，费马大定律就是只会下金蛋的母鸡。费马定律直到1997才解决。)

在列举23个问题之前，希尔伯特已经被公认为国际数学领域的领军人物，在数学的多个领域取得了许多重要的成就。他的其他贡献，如他的公理化思想、形式主义思想、《几何基础》一书等，对20世纪数学的发展产生了深远的影响。

1 265438+20世纪七个数学问题

21世纪的七个数学问题

近日，2000年5月24日，美国马萨诸塞州克莱数学研究所在巴黎法兰西学院宣布了一个被媒体炒得沸沸扬扬的事件:悬赏100万美元，征集七道“千年数学难题”。下面就简单介绍一下这七个难题。

“千年问题”之一:P(多项式算法)对NP(非多项式算法)

在一个星期六的晚上，你参加了一个盛大的聚会。很尴尬，你想知道这个大厅里有没有你已经认识的人。你的主人建议你一定要认识坐在靠近甜点盘角落里的罗斯女士。你不需要一秒钟就能扫一眼那里，发现你的主人是对的。但是，如果没有这样的暗示，你必须环视整个大厅，一个一个地看每个人，看看有没有你认识的人。生成问题的解决方案通常比验证给定的解决方案花费更多的时间。这是这种普遍现象的一个例子。同样，如果有人告诉你，13、717、421这几个数可以写成两个更小的数的乘积，你可能不知道该不该相信他，但如果他告诉你可以因式分解成3607乘以3803，那么你就可以用袖珍计算器轻松验证这一点。无论我们是否熟练地编写了一个程序，确定一个答案是否可以用内部知识快速验证，或者在没有这种提示的情况下需要花费大量时间来解决，这被视为逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。是StephenCook在1971中陈述的。

“千年难题”之二:霍奇猜想

二十世纪的数学家找到了一种研究复杂物体形状的有效方法。基本的想法是问我们可以在多大程度上通过将简单的几何积木与增加的维度粘合在一起来塑造一个给定的物体。这项技术变得如此有用，以至于可以用许多不同的方式推广；最后，它导致了一些强大的工具，这些工具使数学家在对他们在研究中遇到的各种对象进行分类方面取得了很大的进步。不幸的是，在这种概括中，程序的几何起点变得模糊了。某种意义上，必须增加一些没有任何几何解释的部分。霍奇猜想断言，对于所谓的射影代数簇，一个叫做霍奇闭链的分量实际上是叫做代数闭链的几何分量的(有理线性)组合。

“千年之谜”之三:庞加莱猜想

如果我们在苹果表面周围拉伸橡皮筋，那么我们可以慢慢移动它，把它收缩成一个点，而不会弄断它或让它离开表面。另一方面，如果我们想象同样的橡胶带在轮胎胎面上以适当的方向拉伸，没有办法在不破坏橡胶带或轮胎胎面的情况下将其收缩到一点。我们说苹果表面是“单连通”的，但轮胎胎面不是。大约一百年前，庞加莱就知道二维球面在本质上可以用简单连通来表征，他提出了三维球面(四维空间中距离原点单位距离的所有点)的相应问题。这个问题立刻变得异常困难，从此数学家们一直在为之奋斗。

第四个“十亿十亿十亿个难题”:黎曼假设

有些数具有特殊的性质，不能用两个较小数的乘积来表示，例如2，3，5，7等。这样的数叫做质数；它们在纯数学及其应用中起着重要的作用。在所有自然数中，这种素数的分布不遵循任何规律；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率与一个构造良好的所谓黎曼ζ函数z(s$)的行为密切相关。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这已经在最初的1，500，000，000个解决方案中得到验证。证明它适用于每一个有意义的解，将会揭开围绕素数分布的许多谜团。

“千百千百个谜题”之五:杨磨坊的存在与质量差距。

量子物理定律是为基本粒子世界建立的，就像牛顿经典力学定律是为宏观世界建立的一样。大约半个世纪前，杨振宁和米尔斯发现量子物理学揭示了基本粒子物理学和几何对象数学之间的惊人关系。基于Young-Mills方程的预言已经在世界各地实验室的以下高能实验中得到证实:Brockhaven、斯坦福、CERN和筑波。然而，他们描述重粒子并且数学上严格的方程没有已知解。特别是“质量间隙”假说，这个假说被大多数物理学家所证实，并被应用于解释夸克的不可见性，但它从来没有得到令人满意的数学证明。在这个问题上的进展需要在物理学和数学中引入基本的新概念。

第六个“千年难题”:Navier-Stokes方程的存在性和光滑性

起伏的波浪跟随我们的船蜿蜒穿过湖面，汹涌的气流跟随我们现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家确信，微风和湍流都可以通过理解纳维尔-斯托克斯方程的解来解释和预测。虽然这些方程写于19世纪，但我们对它们的了解仍然很少。挑战是在数学理论上取得实质性的进展，这样我们才能解开隐藏在纳维尔-斯托克斯方程中的谜团。

“千年之谜”之七:伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。

数学家们总是着迷于x ^ 2+y ^ 2 = z ^ 2等代数方程的所有整数解的刻画。欧几里德曾经给出了这个方程的完整解，但是对于更复杂的方程，就变得异常困难。事实上，作为余。V.Matiyasevich指出，希尔伯特的第十个问题是无解的，即没有一个通用的方法来确定这样的方法是否有整数解。当解是阿贝尔簇的一个点时，贝赫和斯韦诺顿-戴尔猜想有理点群的大小与在点s=1附近的相关Zeta函数z(s)的行为有关。特别是这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0，有无穷多个有理点(解)；反之，如果z(1)不等于0，则这样的点只有有限个。