如何证明一加一等于二？

自然数的公理化，最早由美国数学家皮尔斯在1881年提出，定义如下:

1是最小的数；

X+y，当x=1时，下一个数是否大于y，否则，下一个数是否大于x？+y的数量；

X×y，当x=1时为y，其他情况下为y+x？y；

其中，x？最后一个数字是否小于x。

因为减法和除法分别是加法和乘法的逆运算(并且不接近自然数)，所以只需要公理化的加法和乘法。

根据皮尔斯公理的定义，1+1是x=1的情况，其值是大于y=1的下一个数，即2。

后来，在1888中，德国数学家戴德金给出了另一组公理:

设N非空，给定N中的一个元素e∈N，则N上有一个映射S:N→N，若:

e不是s的值，就是e？冉；

s是内射的，即:？N，m∈N，(S(n)=S(m))？(n = m)；

归纳原理，即对于任意子集a？N，若e∈N且若n∈A则A为N，即:？答？N，(1∈N)∧((1∈N)？(S(n)∈A))？(A=N)，

那么三元组(N，e，S)称为自然数系，N称为自然数集，e称为初始元素，S称为后继元素。

戴德金，从更本质的层面，公理化了自然数。通过这个公理，我们可以定义自然数的加法和乘法运算，与皮尔斯公理等价。

但是这个公理系统有些复杂(当时数学逻辑语言刚刚建立)，所以没有引起人们的注意。

注:这里？是否包含在，是否真的包含在？。

紧接着第二年，也就是1889年，意大利数学家皮亚诺，独立于戴德金，发表了皮亚诺公理:

0是自然数；

任意自然数n的后继数n？还是自然数；

0不是任何自然数的后继数；

两个自然数相等当且仅当它们的后继数相等；

对于自然数集的子集A，若0∈N且n∈A，则N？∈A则A是自然数集。

很明显，皮亚诺公理是戴德金公理的简化版，所以也叫戴德金-皮亚诺公理。

注:最早皮亚诺以1为最小自然数，将等价关系视为公理的一部分。以上是后来的改进版。

使用皮亚诺公理，自然数的加法定义如下:

x+0=x

x+y？=(x+y)？

乘法如下:

x0=0

xy？=x+xy

用上面加法的定义来证明本题的问题:

1+1=1+0?=(1+0)?=1?=2

以上公理体系是抽象的，在不同的数学领域有不同的例子。以皮亚诺的公理为例:

根据最古老的算术:

0=0

x？=x+1

根据集合论:

0=?

x？= x ∨{ x }

所以有:

1={0},2={0,1},3={0,1,2}, ...

希尔奇数:

0=λ.sλ。锯齿形

x？=λ.xλ.sλ。zxs(深圳)

所以有:

1=λ.sλ。zsz，2=λ.sλ。zs(sz)，3=λ.sλ。zs(s(sz))

根据范畴理论:

设C为范畴，1为C的终止对象，那么定义范畴US？(c)如下:

我们吗？(c)的对象是三元组(X，0？，S？)，其中x是c的对象，0？:1→X和s？:X→X是c的一个态射；

我们吗？(c) f:(X，0？，S？)→(Y，0？，S？)是一个C-态射f:X→Y，并且满足:f0？=0?还有fS？=S？f，

如果我们？一个初始对象(N，0，S)可以在(c)中找到，即对于任何对象(X，0？，S？)，有唯一的态射u:(N，0，S)→(X，0？，S？)，据说C满足皮亚诺公理。我们吗？(c)中的每一个三元组对象都是一个钢琴公理系统。

可以证明这些例子都满足皮亚诺公理定义的条件，所以这些例子定义得很好。

由于本人数学水平有限，错误在所难免。欢迎题主和老师批评指正！)

二、1+1 = 2？哥德巴赫猜想

1，很多人不明白为什么要证明1+1 = 2。这不是常识吗？

但是，这个问题背后有很多，看似简单却很精彩。我来回答一下为什么1+1 = 2需要证明，为什么证明这么难。

2.什么是“1+1 = 2”

所谓“1+1=2”，其实指的是被称为现代世界三大数学难题之一的哥德巴赫猜想。

1742年，哥德巴赫突发奇想:“任何大于2的整数都可以写成三个素数之和。”但哥德巴赫本人无法证明，于是他给著名的欧拉写了一封信，提出了他的猜想，希望欧拉帮助他解决这个问题。

然而，面对这个奇妙的猜想，伟大的欧拉直到去世也无法给出一个合理的证明。有趣的是，几百年过去了，这个连小学生都能理解的问题却难倒了世界上所有的数学家。

3.令人兴奋的事实

目前最接近1+1 = 2完美证明的人是我国著名数学家陈景润先生。1966年，陈景润证明了哥德巴赫猜想中的“1+2”理论。这个结论被称为“陈定理”，大大推进了哥德巴赫猜想的证明。

注:在此之前，其他数学家已经从“1+n”逐步证明到“1+5”、“1+4”、“1+3”，也叫筛选法。

陈景润的“1+2”和“1+1”只有一步之遥。只要证明了“1+1”的理论，哥德巴赫猜想就可以完美落幕了。

然而，事实上，我们离这个问题的完美证明还很远。

4.为什么很难证明？

很多人不理解为什么哥德巴赫猜想这么伟大。其实原因是这个猜想几乎可以定义所有大于2的整数。相当于告诉世界，你看，所有的整数都是质数组成的。

而这就好比没有显微镜的时候，突然有人提出原子是所有物质的最小元素。

证明哥德巴赫猜想和不用显微镜证明原子构成万物一样困难。

5.写在最后

看到这个问题下很多不友好的回答，希望题主忽略，追求真相是一件很棒的事情。但是善意的提醒一下题主，不要试图自己去证明1+1 = 2，即使你声称自己证明成功了，也难免会被称为民间题主。

6.这个问题涉及到皮亚诺的公理。

五个钢琴公理是:

(1)0是自然数；

(2)每个自然数A都有一个确定的后继数A’，A’也是自然数；

(3)0不是任何自然数的后继者；

(4)不同的自然数有不同的继承者。如果A和B的后继都是自然数C，那么A = B；

(5)若集合S是自然数集合n的子集，且满足两个条件:χ，0属于S；4.如果n属于S，那么n的后继数也属于S；那么S就是自然数集，这个公理也叫归纳公理。

这个公理的第五条很恶心。鉴于你的问题，我们可以讨论第二个。

在第二个公理中，假设自然数1的后继是x’，即1+1 = x’。然后我们定义X '叫做2，意思是“1+1 = 2”；当然也可以定义为0，但是需要另找一个名字来代替原来的0，否则会和公理(3)相矛盾。

所以1+1 = 2这是一个人为的定义，不需要证明，也无法推翻。如果1+1不等于2，毫不客气地说，当前数学领域99%以上的定理将全部崩塌，数学将重新开始。

结论:但是，1+1还有另一层含义，是哥德巴赫猜想的终极形式。这个猜想目前没有人能证明，目前最好的证明是陈景润的1+2，所以哥德巴赫猜想1+1还没有解，我当然也提供不了什么解。

如果你对题目有什么其他看法，欢迎留言，一起讨论！