从具体到抽象定义特征，有哪些数学定义是相似的？

关于数学的特点，我们可以把数学和其他学科进行比较，这个特点非常明显。

与其他学科相比，数学更抽象。数学的抽象在哪里？那就是暂时抛开事物的具体内容，只从抽象的数字方面去研究。比如简单的计算，2+3可以理解为两棵树加三棵树，也可以理解为两台机床加三台机床。在数学中，我们抛开树木和机床的具体内容，只研究2+3的运算规律，掌握了这个规律，那么无论是树木、机床、汽车还是其他任何东西，都可以根据加法的运算规律进行计算。乘除等运算也是研究抽象数字，抛开具体内容。

数学中的很多概念都是从现实世界中抽象出来的。比如几何学中的“直线”概念，并不是指现实世界中绷紧的线，而是抛开了现实线的质量、弹性、粗细等性质，只剩下“双向无限拉伸”的性质，而现实世界中并不存在双向无限拉伸的线。几何和函数的概念是抽象的。但是，抽象并不是数学独有的属性，它是任何一门科学乃至所有人类思维的特征。只是数学的抽象性不同于其他学科。

数学的抽象有以下三个特点:一是保留了数量关系或空间形式。其次，数学的抽象是通过一系列阶段形成的，它所达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。从最原始的概念到函数、复数、微分、积分、泛函、n维甚至无限维空间等抽象概念，是一个由简单到复杂、由具体到抽象的深化过程。当然，形式是抽象的，但内容是很现实的。正如列宁所说:“一切科学的(正确的、庄严的、不荒谬的)抽象，都更深刻、更正确、更完整地反映了自然。”(《黑格尔逻辑学摘要》，《列宁全集》第38卷第181页)第三，不仅数学的概念是抽象的，数学方法本身也是抽象的。物理学或化学家总是用实验方法来证明他们的理论；数学家无法通过实验证明一个定理，而是通过推理和计算。比如，虽然我们已经精确地测量了一个等腰三角形的两个底角上千次，但不能说等腰三角形的两个底角相等，而必须通过逻辑推理严格证明。要证明数学中的一个定理，就要用已经学过或证明过的概念和定理，通过推理推导出这个新定理。我们都知道数学归纳法，这是一种抽象的数学证明方法。它的原理是将所研究的元素排列成一个序列，某个性质对这个序列的第一项成立。假设当k项成立时，如果能证明k+1项也能成立，那么这个性质对这个数列的任何一项都成立，即使这个数列是无穷的。

数学的第二个特点是准确性，或者说逻辑的严密性和结论的确定性。

数学推理及其结论是无可争议的，不容置疑的。数学证明的准确性和确定性在中学课本中充分展现。

欧几里得的经典著作《几何原本》可以作为逻辑严谨性的一个很好的例子。它从几个定义和公理出发，运用逻辑推理的方法，演绎出整个几何体系，将丰富而零散的几何材料整理成一个系统而严密的整体，成为人类历史上的科学杰作之一，为后人所称道。两千多年来，19世纪以前的所有初等几何教材，所有关于初等几何的著作，都是以《几何原本》为基础的。“欧几里德”成了几何学的代名词，人们也把这个体系的几何学称为欧几里德几何学。

但是数学的严谨不是绝对的，数学的原理也不是一成不变的，它也是发展的。比如前面已经说了《几何原本》也有不完善的地方，有些概念没有明确定义，采用了应该自己定义的概念，基本命题中还缺乏严格的逻辑依据。因此，后来逐渐建立了更为严谨的希尔伯特公理体系。

第三个特点是应用的普遍性。

我们在生产和日常生活中几乎无时无刻不在使用数学，丈量土地、计算产量、制定计划、设计建筑都离不开数学。没有数学，现代科技的进步是不可能的。从简单的技术创新到复杂的卫星发射，数学不可或缺。

而且几乎所有的精密科学，力学，天文学，物理学，甚至化学，通常都是用一些数学公式来表达它们的规律，而在发展自己的理论时，数学作为一种工具被广泛使用。当然，力学、天文学、物理学对数学的需求也促进了数学本身的发展。比如力学的研究促进了微积分的建立和发展。

数学的抽象性往往与应用的普遍性密切相关，某种数量关系往往用这种数量关系代表所有的实际问题。比如机械系统的振动和电路的振荡是用同一个微分方程来描述的。如果我们不考虑具体物理现象中的含义来研究这个公式，所得到的结果可以用于类似的物理现象。这样，通过掌握一种方法，就可以解决很多类似的问题。不同性质的现象具有相同的数学形式，即相同的数量关系，反映了物质世界的统一性，因为数量关系不仅存在于特定的物质形式或其特定的运动形式中，还存在于各种物质形式和各种运动形式中，所以数学的应用非常广泛。

正因为数学来源于现实世界，正确地反映了客观世界的一部分联系形式，所以才能应用，才能指导实践，才能显示出数学的预见性。比如火箭或导弹发射前，可以通过精确计算预测其飞行轨迹和落点；在直接观测到天体中的未知行星之前，它的存在是从天文计算中预测出来的。同样的原因使得数学成为工程技术中的重要工具。

这里有一些应用数学的杰出例子。

第一，海王星的发现。海王星，太阳系的行星之一，是1846年在数学计算的基础上发现的。天王星在1781被发现后，对其轨道的观测总是与预测结果有较大差异。是万有引力定律不正确还是有其他原因？有人怀疑它周围有另一颗行星，影响了它的轨道。1844年，英国的亚当斯(1819—1892)利用万有引力定律和天王星的观测数据计算了这颗未知行星的轨道，并花了很长时间计算这颗未知行星的位置及其在天空中的位置。亚当斯分别于1845年9月至10年10月将结果发给剑桥大学天文台台长查尔斯和英国格林威治天文台台长艾里，但查尔斯和艾里迷信权威，不予理会。

1845，法国年轻天文学家、数学家勒维烈(1811-1877)经过一年多的计算，给德国柏林天文台的助理加勒(1846)写了一封信。信中说:“请把你的望远镜对准黄道上的宝瓶座，也就是经度326，然后你会在那个地方的1范围内看到一颗亮度为九度的星星。”加勒按照勒维烈指出的方向观察，果然，他发现了一颗不在地图上的星——海王星，在离所指位置1以内。海王星的发现不仅是力学和天文学特别是哥白尼日心说的伟大胜利，也是数学计算的伟大胜利。

第二，谷神星的发现。1801年元旦，意大利天文学家皮亚齐(1746-1826)发现了一颗新的小行星——谷神星。但它很快又藏了起来。皮亚齐只写下了小行星沿着9°的弧线运动，皮亚齐和其他天文学家无法找出它的整个轨道。德国24岁的高斯根据观测结果计算出这颗小行星的轨道。今年65438年2月7日，天文学家在高斯之前指出的位置重新发现了谷神星。

第三，电磁波的发现。英国物理学家麦克斯韦(1831—1879)总结了实验建立的电磁现象，并将其表述为二阶微分方程。他从纯数学的观点出发，从这些方程推导出存在电磁波，电磁波以光速传播。据此，他提出了光的电磁理论，后来得到了充分的发展和论证。麦克斯韦的结论也促使人们去寻找纯电起源的电磁波，比如振动放电发出的电磁波。这样的电磁波是德国物理学家赫兹(1857-1894)发现的。这就是现代无线电技术的起源。

第四，1930年，英国理论物理学家狄拉克(1902-1984)通过数学推导和计算预言了正电子的存在。1932年，美国物理学家安德森在宇宙线实验中发现了正电子。类似的例子不胜枚举。总之，数学在天体力学、声学、流体力学、材料力学、光学、电磁学、工程科学等领域都做出了极其精确的预测。