e的自然常数

自然常数e是一个奇妙的数字。在这里，e不仅是一个字母，也是数学中的一个无理常数，大约等于2.5000000001.50005438+0。

但是你有没有想过这是怎么发生的？一个无理数为什么叫“自然常数”？

说到e，我们自然会想到另一个不合理的常数。通过估算下图中内接多边形和外接多边形的边长，我们可以形象地理解。

假设一个圆的直径为1，其外切多边形和内接多边形的周长可以构成估计值的上下界。内接多边形和外接多边形的边越多，范围越窄。只要有足够多的边，范围的上下限就会更接近。

如果计算直观，那么E呢？所以这里也用了一个图解的方法来直观的理解E。

首先我们要知道，代表自然基数的符号E是由瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉，取欧拉首字母“E”命名的。

莱昂哈德·欧拉(1707-1783)

但事实上，第一个发现这个常数的人不是欧拉本人，而是雅各布·伯努利。

伯努利家族

伯努利家族是18世纪瑞士的一个著名家族，其中不乏著名的数学科学家。雅可比·伯努利是约翰·伯努利的哥哥，约翰·伯努利是欧拉的数学老师。简而言之，老板们有着千丝万缕的联系。

理解E的由来，最直观的方法之一就是引入一个经济学名称“复利”。

复利法(英文:Compound interest)是一种计算利息的方法。按照这种方法，利息会按照本金来计算，新赚的利息也可以赚取利息，所以俗称“滚利息”、“驴滚”或“重叠利息”。只要计息期越近，财富增加越快，期限越长，复利效应越明显。3354维基百科

在介绍复利模型之前，先试着看看更基本的指数增长模型。

我们知道，大多数细菌都是二分法繁殖，假设某一种细菌每天会分裂一次，即一个生长周期为一天，如下图所示，这意味着每天细菌总数是前一天的两倍。

很明显，如果除以x天(或者x个生长周期)，相当于x倍。在第X天，细菌总数将是原来的两倍。如果初始细菌计数为1，x天后的细菌计数为2x:

如果初始数量为K，x天后的细菌数量为K 2x:

所以只要所有细菌每天分裂一次，不管初始数是多少，最终数都是初始数的2x。所以也可以写成:

上式的意思是:第X天，细菌总数是初始细菌数的Q倍。

如果把“拆分”或“翻倍”换成更文艺的说法，也可以说是“增长率是100%”。那么我们可以把上面的公式写成如下:

当增长率不是100%，而是50%，25%等等，你只需要把上面的公式从100%改成你想要的增长率。这样，我们可以得到一个更一般的公式:

这个公式的数学内涵是:一个生长周期内的增长率为r，经过x个周期的生长，总量将是初始量的q倍。

以上是指数增长的一个简单例子。让我们来看看雅各布·伯努利的发现:

假设你在银行有1元钱。此时已经出现了严重的通货膨胀，银行的利率已经飙升到100%(为了计算方便而夸大)。如果银行一年付息一次，自然一年后，你可以得到1元的本金(蓝圈)和1元的利息(绿圈)，总共余额两元。

目前银行年利率不变，但为了吸引客户，银行推出了惠民政策，每半年付息一次。然后第六个月，可以提前从银行拿到0.5元的利息。

明智的话，你会立刻把0.5元的利息再次存入银行，这0.5元的利息也会在下一个结算周期产生利息(红圈)。专业术语叫“复利”，所以年末存款余额等于2.25元。

至此，我们可以从另一个角度来看待这个问题:即各

结算(增长)期为半年，利率为半年50%(或100%/2)，每年结息两次，第一次结息后立即存入利息。此时，我们的计算公式和结果如下:

继续，假设银行为了和其他银行竞争，短期内不想赚钱，每四个月付息一次！但是你很聪明，一拿到利息就存起来，类似于半年结一次利息:即每个结期四个月，每四个月利率33.33%(或100%/3)，一年结三次利息，前两次结完立即存所有利息。

此时，计算公式和结果如下:

我的天，虽然年利率没变，但是随着每年付息额的增加，年底你能从银行拿到的钱其实是在增加的！

那么会一直增加到无穷大吗？不错的尝试，是吧？

现在，假设储户和银行都疯了。银行在保证年利率100%的前提下，不断给储户支付利息。储户每天留在银行，拿到利息就存银行。这样得到的利息叫做“连续复利”。

但是，你会发现，似乎有一个“天花板”，把你赚1亿元的小目标挡住了1元。这个“天花板”就是E！

如果我们做一系列的迭代运算，我们会看到以下结果:

其中n指一年内结息的次数。

只要年利率保持100%不变，余额就逼近e =2.718281845？

那么，最后，我们可以牺牲高等数学微积分中计算E的一个重要限制:

现在回头看这个重要的极限，我想会有更直观的认识。

也就是说，即使银行年利率是100%，无论你要求银行“复利”多少，也不可能在年末得到超过本金e倍的余额。另外，我也没见过哪个银行的年利率是100%。

虽然正常的银行不会推出连续复利的优惠政策，但在本质上，大部分事物都处于“无意识的连续增长”状态。对于一个持续增长的东西，如果单位时间的增长率是100%，那么它在一个单位时间后就会变成原来的e倍。生物的生长繁殖类似于“利润滚动”的过程。

再举一个例子，在等角螺旋中:

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如果用极坐标表示，其一般数学表达式为:

其中a和b是系数，R螺旋上的点到坐标原点的距离，θ是旋转角度。这是一个基于自然常数e的指数函数。

例如，鹦鹉螺贝壳的截面呈现出美丽的等角螺旋:

鹦鹉螺壳

热带低压看起来也像一个等角螺旋:

热带低气压

甚至螺旋星系的旋臂也像等角螺旋:

螺旋星云

也许这就是E被称为“自然常数”的原因。当然，自然常数e的奇妙远不止于此，一本书也看不完。

参考:

指数函数直观指南& ampe，/articles/an-指数函数直观指南-e/

[2]史前微积分:发现圆周率，/articles/史前-微积分-发现-圆周率/

[3]复利，https://en.wikipedia.org/wiki/Compound_interest

[4]https://en.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler的莱昂哈德·欧拉

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