多面体和球面问题
命名来源
柏拉图立体，正多面体的别称，以柏拉图命名。柏拉图的朋友Teitetus把这些立体告诉了柏拉图，柏拉图把它们写在了Timaeus。正多面体的练习包含在《几何原本》第13卷中。描述13命题中的正四面体方法。命题14是正八面体，命题15是立方体，命题16是正二十面体，命题17是正十二面体。
判断依据
判断一个正多面体有三个标准。
正多面体的面由正多边形组成。
正多面体的每个顶角都是相等的。
正多面体的所有边都相等。
这三个条件必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五边形十二面体。虽然它像正十二面体一样被十二个五边形包围，但它不是正多面体，因为它的顶角不相等。
正多面体具有高度对称的形状，每个正多面体在相似多面体所属的点群中具有最高的对称性。改变正多面体会导致对称性降低。例如，当正十二面体属于Ih点群时，对称性也会降低到Td群。
存在正多面体
正多面体有五种，都是古希腊人发现的:(表中A是正多面体的边长)
名字
透视画
旋转透视图
立体画
本构平面
脸
边缘
小尖塔
几何数据
归属点群
正四面体等边三角形4 6 4表面积:
音量:
二面角:
外部球半径:
内接球体的半径:
双多面体:正四面体
Td集团
立方体(正六面体)正方形6 12 8表面积:
音量:
二面角:
外部球半径:
内接球体的半径:
双多面体:正八面体
Oh集团
正八面体等边三角形8 12 6表面积:
音量:
二面角:
外部球半径:
内接球体的半径:
双重多面体:立方体
Oh集团
正十二面体正五边形12 30 20表面积:
音量:
二面角:
外部球半径:
内接球体的半径:
双重多面体:二十面体
Ih集团
正二十面体等边三角形20 ^ 30 12表面积:
音量:
二面角:
外部球半径:
内接球体的半径:
双多面体:正十二面体
Ih集团
[编辑]目的
正多面体骰子经常出现在角色扮演游戏中，因为正多面体骰子更公平。
正四面体、立方体和八面体也会自然出现在晶体结构中。
通过对正多面体进行倒角，可以获得具有类似对称性的其它结构。比如著名的球形分子C 60的空间结构就是通过正十二面体倒角得到的，所以我们可以知道C 60分子所属的对称群也是正十二面体的同一个Ih群。
由于正多面体和由正多面体派生出的倒角正多面体具有良好的空间堆积性质，即可以在空间上紧密堆积，所以常选择正多面体或倒角正多面体盒作为分子模拟计算的周期性边界条件。
除了上面提到的正十二面体，还有一种由五边形(四边等长)组成的多面体——五边形十二面体，这是黄铁矿的一种可能的晶体结构。五边形十二面体虽然是由五边形组成的，但它不是柏拉图体，它的对称群不是正十二面体的Ih群而是与立方体相同的Oh群。
[编者]象征意义
开普勒在《宇宙的奥秘》(1596)中给出了柏拉图的太阳系三维模型。
柏拉图把“四大经典元素”视为元素，它们的形状就像正多面体中的四个。
火的热度让人感觉尖锐刺痛，像一个小小的正四面体。
空气是由正八面体构成的，大致可以感觉到它的微小组合非常光滑。
水放到人的手里会自然流出，所以应该是由很多小球组成的，像一个二十面体。
土壤不同于其他元素，因为它可以堆叠，就像一个立方体。
离开了无用的正多面体——正十二面体，柏拉图用不清不楚的语气写道:“上帝用正十二面体来排列天空中的整个星座。”【1】柏拉图的学生亚里士多德加入了第五元素——以太(希腊语:α ι θ？ρ，拉丁文音译:aithêr；拉丁文:aether)，并认为天空是由此构成的，但他并没有将太和与正十二面体联系起来。
根据与文艺复兴时期建立数学对应的传统，约翰尼斯·开普勒绘制了五个正多面体到五颗行星——水星、金星、火星、木星和土星，它们也对应着五种经典元素。
[编辑]证明只有五个正多面体
与顶点数v、边数e和面数f有关的所有正多面体的性质可以由每个面上的边(边)数p和从每个顶点开始的边数q给出。因为每条边有两个顶点和两个面，所以我们有
另一个关系是欧拉公式:
这个显而易见的事实可以从许多方面得到证明。在几何拓扑中，这是因为球体的欧拉特征为2。)以上三个方程可以求解V，E，f:
注意交换p和q会交换f和v，但是e不会改变。
只有五个正多面体的定理是一个经典结果。下面给出两个证明。注意，这两个证明只证明了正多面体最多有五种，这五种的存在性需要通过构造给出。
[编辑]几何证明
下面的几何讨论与欧几里得在《原几何》中给出的证明非常相似:
多面体的每个顶点至少在三个面上。
这些相交面的角度之和(即顶点发出的角度)必须小于360度。
正多面体的顶点发出的角是相等的，所以这个角一定小于360/3 = 120。
正六边形和边数较多的正多边形的角大于等于120，所以正多面体上的面只能是正三角形、正方形或正五边形。所以:
正三角形:每个角为60°，所以正多面体每个顶点发出的角的个数小于360/60 = 6，即每个顶点只能在三个、四个和五个面上，分别对应正四面体、正八面体和正二十面体；
正方形:每个角为90°，所以正多面体的每个顶点发出的角的个数小于360/90 = 4，即每个顶点只能在三个面上，对应一个立方体；
正五边形:每个角是108，所以正多面体的每个顶点发出的角的个数小于360/108 = 10/3，即每个顶点只能在三个面上，对应一个正十二面体。
[编辑]拓扑证明
纯拓扑证明只能利用正多面体的性质。关键在于和。综合上述等式，我们得到
因此
因为，
注意到p和q必须大于或等于3，我们可以容易地找到所有五个组(p，q):
来源:zh.wikipedia.org/wiki/正多面体