抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线x23-y26=1的右焦点重合，斜率为1的直线L与抛物线C相交。

∵焦点f与双曲线x23-y26=1的右焦点重合，

∴F(3,0)，

∴p2=3，

∴p=6，

抛物线方程是y2 = 12x。

设A(x1，y1)和B(x2，y2)。

斜率为1的直线L过点P (2，0)的方程为y=x-2，代入抛物线方程得到x2-16x+4=0。

∴x1+x2=16，

弦AB的中点到抛物线准线的距离为x1+x2+P2 = 11。

所以答案是:11。